爱心曲线Heart Curve
参数化的爱心 x = 16sin³t 配四项余弦——数学里被分享最多的曲线。
调节参数
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公式与关键数值
- 参数方程
- 面积图中 ≈ 565.5
- 宽度
t 从 0 走到 2π；s 整体缩放爱心（下面按 s = 1）。
01 · 定义
什么是爱心曲线？
流传最广的"爱心曲线"是参数对 x = 16sin³t、y = 13cos t − 5cos 2t − 2cos 3t − cos 4t。三次方的正弦把两侧压成圆瓣，四个余弦谐波雕出顶部的凹口和底部的尖点——一小段手工调参的傅里叶级数，恰好拼出爱意。
数学里的"心"远不止这一颗：隐式六次曲线 (x² + y² − 1)³ = x²y³ 也画得出爱心，心脏线则是它的极坐标近亲。但经图形计算器与搜索引擎彩蛋普及的正是这一版——也是"逐项读懂参数方程"的完美入门练习。
02 · 性质
关键性质
- 关于 y 轴对称；底部尖点在 (0, −17)，顶部凹口在 (0, 5)。
- 缩放前：宽 32（t = ±π/2 时 x = ±16），凹口到底尖 22，整体高约 28.9（两瓣顶部在 y ≈ 11.92）。
- y 分量是四个余弦谐波之和——一段手工绘制的傅里叶素描。
- 隐式爱心 (x² + y² − 1)³ = x²y³ 是六次代数曲线版本。
- 相关：心脏线（cardioid）的名字来自同一个表示"心"的希腊词根。
03 · 问答
关于爱心曲线的常见问题
- 爱心曲线的方程是什么？
- 参数方程：x = 16 sin^3 t，y = 13 cos t - 5 cos 2t - 2 cos 3t - cos 4t。t 从 0 走到 2π；s 整体缩放爱心（下面按 s = 1）。
- 爱心曲线的面积是多少？
- 面积：A = 180π ≈ 565.5。t 从 0 走到 2π；s 整体缩放爱心（下面按 s = 1）。
04 · 继续探索