蝴蝶曲线
参数曲线Temple Fay 1989 年的超越曲线,指数与正弦项交织出一只蝴蝶。
调节参数
方程
打开创作工作台，自动填入这条曲线的动画需求——渲染前可检查场景方案和 Manim 代码。
什么是蝴蝶曲线？
蝴蝶曲线由 Temple H. Fay 于 1989 年发表,展示了单个极坐标式公式能有多丰富。半径项 e^{cos t} − 2cos 4t − sin⁵(t/12) 混合了三种节奏:指数项缓慢的呼吸、cos 4t 的四重翅拍,以及周期长达 24π 的 sin⁵(t/12) 慢漂移——它让每一圈都与上一圈略有不同。
正因为这个慢漂移,曲线要等 t 扫过 24π(整整十二圈)才重复,翅膀里叠着翅膀。它已成为绘图软件的标准测试图案,也是参数方程课程里最受欢迎的"惊叹号"示例。
关键性质
- 超越曲线(非代数):指数项排除了任何多项式方程。
- 完整周期为 24π,由 sin⁵(t/12) 项决定。
- 关于 y 轴对称(t → −t 使 x 变号)。
- 半径不超过 e + 3,给出翼展的上界。
- 极坐标变体 r = e^{sin θ} − 2cos 4θ + sin⁵((2θ − π)/24) 画出一只近亲蝴蝶。
它出现在哪里
绘图软件演示、参数方程教学示例、生成艺术,以及激光投影测试。