蝴蝶曲线的方程是什么？

参数方程：x = sin t(e^(cos t) - 2 cos 4t - sin^5 t/12)，y = cos t(e^(cos t) - 2 cos 4t - sin^5 t/12)。t 是参数；整只蝴蝶需要 t 从 0 走到 24π。

参数曲线

蝴蝶曲线Butterfly Curve

Temple Fay 1989 年的超越曲线，指数与正弦项交织出一只蝴蝶。

调节参数

绘制范围（×π）24

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公式与关键数值

参数方程: $x = \sin t\left(e^{\cos t} - 2\cos 4t - \sin^5\tfrac{t}{12}\right)$ $y = \cos t\left(e^{\cos t} - 2\cos 4t - \sin^5\tfrac{t}{12}\right)$
周期: $T = 24\pi$
到中心的距离: $\sqrt{x^2 + y^2} \le e + 3$

t 是参数；整只蝴蝶需要 t 从 0 走到 24π。

讲解视频

把蝴蝶曲线做成讲解视频

带着图中的参数打开视频模板。片中每个数都在渲染前算好，可选横屏或竖屏。

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01 · 定义

什么是蝴蝶曲线？

蝴蝶曲线由 Temple H. Fay 于 1989 年发表，展示了单个极坐标式公式能有多丰富。半径项 e^{^(cos t)} − 2cos 4t − sin⁵(t/12) 混合了三种节奏：指数项缓慢的呼吸、cos 4t 的四重翅拍，以及周期长达 24π 的 sin⁵(t/12) 慢漂移——它让每一圈都与上一圈略有不同。

正因为这个慢漂移，曲线要等 t 扫过 24π（整整十二圈）才重复，翅膀里叠着翅膀。它已成为绘图软件的标准测试图案，也是参数方程课程里最受欢迎的"惊叹号"示例。

02 · 性质

关键性质

超越曲线（非代数）：指数项排除了任何多项式方程。
完整周期为 24π，由 sin⁵(t/12) 项决定。
关于 y 轴对称（t → −t 使 x 变号）。
半径不超过 e + 3，给出翼展的上界。
极坐标变体 r = e^{^(sin θ)} − 2cos 4θ + sin⁵((2θ − π)/24) 画出一只近亲蝴蝶。

03 · 问答

关于蝴蝶曲线的常见问题

蝴蝶曲线的方程是什么？: 参数方程：x = sin t(e^{^(cos t)} - 2 cos 4t - sin^{^5} t/12)，y = cos t(e^{^(cos t)} - 2 cos 4t - sin^{^5} t/12)。t 是参数；整只蝴蝶需要 t 从 0 走到 24π。