用牛顿法解 z³ = 1，为什么会画出分形？

想解 $f(x)=0$，先猜一个 $x_0$，在曲线上这一点画切线，切线和横轴的交点就是更好的猜测：

求 $\sqrt2$ 就是解 $x^2-2=0$。从 $x_0=1$ 出发：$1.5$、$1.41667$、$1.4142157$、$1.41421356237469$，正确的小数位依次是 1、2、5、11。靠近根以后，误差每步大约平方一次，位数翻倍，这叫二次收敛。

同一个公式对复数也成立，只是"切线"变成了复导数。对 $p(z)=(z-r_1)(z-r_2)\cdots(z-r_n)$，一步牛顿法可以只用根来写：

画板就是这样算的，所以你可以直接拖动根。

对 $z^2-1$，到 $\pm1$ 距离相等的点构成虚轴，虚轴两边的起点各自奔向近的那个根，边界是一条直线，凯莱 1879 年证明了这一点。对 $z^3-1$ 他写道，这个情形"似乎相当困难"。

对 $z^3-1$，牛顿一步是 $z\to\dfrac{2z^3+1}{3z^2}$。在 $z=0$ 处导数为 0，切线是平的，这一步除以 0；0 附近的点一步就被甩到很远。

实轴上的点 $-2^{-1/3}\approx-0.7937$ 第一步正好到 0。它的邻居第一步落在 0 的四周，再一步就去向四面八方，所以它周围三种颜色都有。而落到这类点上的点又有无数个，每一个周围都是同样的情形：花瓣上又有花瓣。

复动力系统里有一条定理：对这样的映射，每一块地盘的边界都是同一个集合（茱莉亚集）。所以边界上任何一点同时挨着三块地盘，叫"三盆性质"，和拓扑学里的"瓦达湖"是同一种怪现象。

对 $p(z)=z^3-2z+2$，一步牛顿法把 0 送到 1，又把 1 送回 0：

而且 $p''(0)=0$，这个循环会把附近的点吸过来，所以 0 和 1 周围各有一整片起点永远到不了根，画板上是黑色。实际计算里，解方程的程序会检查是否收敛，不收敛就换一个起点。