Gerono 双纽线Lemniscate of Gerono
8 字形曲线 x⁴ = a²(x² − y²)，由 x = a·cos t、y = a·sin t·cos t 画出：两瓣合计面积 4a²/3。
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公式与关键数值
- 直角坐标方程
- 参数方程
- 面积 · 两瓣合计图中 ≈ 1.333
a 是半宽：曲线占据 −a ≤ x ≤ a。
01 · 定义
什么是Gerono 双纽线？
它以法国数学家 Camille-Christophe Gerono 命名，是最容易画的 8 字形：x = a·cos t、y = a·sin t·cos t，也就是频率为 1 和 2 的利萨如图形。消去 t 得到四次方程 x⁴ = a²(x² − y²)。
和伯努利双纽线不同，它不是用焦点定义的；它的两瓣更高更圆。每一瓣最高到 a/2，两瓣合计围成的面积恰好是 4a²/3。
02 · 性质
关键性质
- 直角坐标形式 x⁴ = a²(x² − y²)。
- 就是 1 : 2 的利萨如图形 x = cos t、y = sin 2t / 2 放大 a 倍。
- 两瓣合计面积 4a²/3。
- 每一瓣在 x = ±a/√2 处达到最高 a/2。
- 在原点与自己相交，切线为 y = ±x。
03 · 问答
关于Gerono 双纽线的常见问题
- Gerono 双纽线的方程是什么？
- 直角坐标方程：x^4 = a^2(x^2 - y^2)；参数方程：x = a cos t，y = a sin t cos t。a 是半宽：曲线占据 −a ≤ x ≤ a。
- Gerono 双纽线的面积是多少？
- 面积（两瓣合计）：A = (4/3)a^2。a 是半宽：曲线占据 −a ≤ x ≤ a。
04 · 继续探索