单调性与极值：从导数的正负读出函数的增减

单调性与极值 · Monotonicity & extrema

怎样从 f′(x) 的正负看出函数在哪里递增、哪里递减、在哪里拐弯？

让点沿三次函数 f(x) = x³ − 3ax 移动，看切线变绿、变红或变平，同时对照下面画出的 f′ 图像。弄清极值为什么出现在 f′ 变号的地方，以及为什么只有 f′ = 0 还不够。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

高中
大学
导数的正负
单调区间
极大值与极小值
驻点

a

无极值

两个极值

1.0

x_0

-2.0

f'(x) = 3x^2 - 3a

$f'(x_0) = 3x_0^2 - 3a$: 9.00
$f(x_0)$: -2.00
$\text{极大值 } f(-\sqrt a)$: 2.00
$\text{极小值 } f(\sqrt a)$: -2.00

在 P 处函数递增（f′ > 0）

极值一个极大值、一个极小值

跟着走一遍

1f′ > 0 的地方，函数递增
取 $f(x)=x^3-3x$ （ $a=1$ ），把 $P$ 放在 $x_0=-2$ 。切线向上倾斜： $f'(-2)=3\cdot4-3=9>0$ ，蓝色的 $f'$ 图像在 $x$ 轴上方。在 $(-\infty,-1)$ 上曲线一路上升。
2f′ < 0 的地方，函数递减
把 $P$ 移到 $x_0=0$ ： $f'(0)=-3<0$ ，切线变红、向下倾斜。在 $f'$ 的两个零点之间，即 $(-1,1)$ 上， $f'$ 为负，曲线下降。 $x$ 轴上那段红色就是递减区间。
3拐弯处是 f′ 变号的地方
$x_0=-1$ 时切线水平： $f'(-1)=0$ 。它左边 $f'>0$ ，右边 $f'<0$ ，曲线由升转降，这是极大值， $f(-1)=2$ 。在 $x=1$ 处符号由 $-$ 变 $+$ ，是极小值， $f(1)=-2$ 。
4只有 f′ = 0 还不够
令 $a=0$ ，即 $f(x)=x^3$ 。 $x_0=0$ 时切线水平， $f'(0)=0$ ，但 $f'=3x^2$ 在两侧都是正的：曲线一直上升，没有极值。 $a<0$ 时 $f'$ 根本取不到 $0$ 。

讲解

1
用导数判断单调性
在某个区间上：
- 处处 $f'(x)>0$ $\Rightarrow$ $f$ 在该区间递增；
- 处处 $f'(x)<0$ $\Rightarrow$ $f$ 在该区间递减。
理由：对区间内任意 $x_1<x_2$ ，由拉格朗日中值定理，存在介于两者之间的 $\xi$ ，使 $f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$ 。若处处 $f'>0$ ，右边为正，所以 $f(x_2)>f(x_1)$ 。画成图就是：两点之间总有一条切线与连接两点的弦平行，所以弦的倾斜方向只能和切线一致。求单调区间时，先解 $f'(x)=0$ ，用它的根把数轴分段，再逐段判断 $f'$ 的正负。
2
极值
$x_0$ 处取极大值，意思是 $f(x_0)$ 比它附近的函数值都大。若 $f'$ 在 $x_0$ 处由 $+$ 变 $-$ ， $f(x_0)$ 是极大值；由 $-$ 变 $+$ ，是极小值；不变号，就不是极值。
对 $f(x)=x^3-3ax$ （ $a>0$ ）： $f'(x)=3(x^2-a)=0$ 得 $x=\pm\sqrt a$ ，极大值 $f(-\sqrt a)=2a\sqrt a$ ，极小值 $f(\sqrt a)=-2a\sqrt a$ 。
3
驻点不一定是极值点
使 $f'(x_0)=0$ 的点叫驻点。可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点： $y=x^3$ 在 $0$ 处切线水平，却仍然递增。 $f'(x_0)=0$ 是必要条件，导数在两侧变号才使它成为充分条件。
4
极值与最值
极大值不一定是最大值：在 $[-1,3]$ 上， $x^3-3x$ 在 $x=-1$ 处取极大值 $2$ ，但 $f(3)=18$ 更大。在闭区间上求最值，要把极值和两个端点处的函数值放在一起比较，其中最大的才是最大值。

随堂检测

Q01

$f(x)=x^3-12x$ 的递减区间是？

Q02

若 $f'(x_0)=0$ ，则 $x_0$ …

Q03

$f(x)=x^3-3x$ 的极小值是？

继续探索

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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