箕舌线
经典直角坐标曲线钟形三次曲线 y = 8a³/(x² + 4a²),因翻译失误得名"女巫",也是柯西分布的轮廓。
调节参数
方程
打开创作工作台，自动填入这条曲线的动画需求——渲染前可检查场景方案和 Manim 代码。
什么是箕舌线？
取半径为 a、坐落在 x 轴上的圆。对从原点出发的每条射线,把"它与圆顶切线交点的高度"和"它与圆交点的横坐标"组合起来,得到的点画出钟形曲线 y = 8a³/(x² + 4a²)。费马在 1630 年研究过它;Agnesi 在 1748 年那部里程碑式的微积分教材中把它讲得清晰透彻。
英文名"女巫"是著名的翻译事故:Agnesi 称它 la versiera(回转曲线),译者 Colson 误读为 l'avversiera(女巫)。在统计学里,同一形状是柯西—洛伦兹分布——均值不存在的重尾密度;物理学家则在共振的洛伦兹线形中与它相遇。
关键性质
- 峰值高度 2a,位于 x = 0;x 轴是渐近线。
- 曲线与渐近线之间的面积为 4πa²——生成圆面积的四倍。
- 拐点位于 x = ±2a/√3。
- 归一化后即柯西分布:均值不存在、方差无穷。
- 绕渐近线旋转所得体积为 4π²a³。
它出现在哪里
统计学中的柯西分布、物理学中的洛伦兹共振峰、流体力学的光滑山丘试验地形,以及 1748 年以来的微积分教材。