箕舌线Witch of Agnesi
钟形三次曲线 y = 8a³/(x² + 4a²)，因翻译失误得名"女巫"，也是柯西分布的轮廓。
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公式与关键数值
- 直角坐标方程
- 渐近线
- 面积 · 曲线与 x 轴之间图中 ≈ 8.042
- 拐点
a 是生成圆的半径；最高点高 2a。
01 · 定义
什么是箕舌线？
取半径为 a、坐落在 x 轴上的圆。对从原点出发的每条射线，把"它与圆顶切线交点的高度"和"它与圆交点的横坐标"组合起来，得到的点画出钟形曲线 y = 8a³/(x² + 4a²)。费马在 1630 年研究过它；Agnesi 在 1748 年那部里程碑式的微积分教材中把它讲得清晰透彻。
英文名"女巫"是著名的翻译事故：Agnesi 称它 la versiera（回转曲线），译者 Colson 误读为 l'avversiera（女巫）。在统计学里，同一形状是柯西—洛伦兹分布——均值不存在的重尾密度；物理学家则在共振的洛伦兹线形中与它相遇。
02 · 性质
关键性质
- 峰值高度 2a，位于 x = 0；x 轴是渐近线。
- 曲线与渐近线之间的面积为 4πa²——生成圆面积的四倍。
- 拐点位于 x = ±2a/√3。
- 归一化后即柯西分布：均值不存在、方差无穷。
- 绕渐近线旋转所得体积为 4π²a³。
03 · 问答
关于箕舌线的常见问题
- 箕舌线的方程是什么？
- 直角坐标方程：y = (8a^3)/(x^2 + 4a^2)。a 是生成圆的半径；最高点高 2a。
- 箕舌线的面积是多少？
- 面积（曲线与 x 轴之间）：A = 4π a^2。a 是生成圆的半径；最高点高 2a。
04 · 继续探索