多普勒效应：鸣笛的车开过去，音调为什么变低

多普勒效应 · Doppler effect

救护车开过来时声音尖，开走后声音低，这是为什么？

让声源动起来，看它发出的波面在前方挤在一起、在后方拉开。前方听者听到 f₀·c/(c − v)，后方听者听到 f₀·c/(c + v)；超过声速时波面叠成激波锥。

v_s\,(\text{m/s})

超声速

200

f_0\,(\text{Hz})

500

t

8.00

f = f_0\,\dfrac{c}{c \mp v_s}

声源低于声速

跟着走一遍

1静止的声源
$500\,\text{Hz}$ 的声源静止不动，发出间距均匀的圆形波面。两个听者都听到 $500\,\text{Hz}$ ，各个方向的波长都是 $c/f_0=340/500=0.68\,\text{m}$ 。
2以十分之一声速前进
$v_s=34\,\text{m/s}$ 时声源在追赶自己发出的波。前方波面间距只有 $0.612\,\text{m}$ ，听者听到 $500\times\dfrac{340}{306}\approx555.6\,\text{Hz}$ ；后方间距 $0.748\,\text{m}$ ，约 $454.5\,\text{Hz}$ 。
3半个声速
$v_s=170\,\text{m/s}$ 时效果非常明显：前方升高一个八度， $1000\,\text{Hz}$ ；后方降到 $333.3\,\text{Hz}$ 。注意两边并不对称：前方升高的幅度比后方降低的大。
4超过声速
$400\,\text{m/s}$ 时声源跑在所有波面前面，前方听者在声源到达之前什么也听不到；波面叠在一个锥面上，半顶角满足 $\sin\alpha=c/v_s$ ，约 $58.2^\circ$ 。这个锥面扫过时就是音爆。

1
同样的波，被挤压了
声源每秒仍然发出 $f_0$ 个波面，但每两个波面之间它向前移动了 $v_s/f_0$ 。前方的波面因此挤近这么多，后方拉开这么多：
$\lambda_{\text{前}}=\frac{c-v_s}{f_0},\qquad\lambda_{\text{后}}=\frac{c+v_s}{f_0}$
声速仍是 $c$ ，波长变短意味着每秒到达的波面更多，听到的音调更高。
2
频率公式
用 $c$ 除以这两个波长，得到静止听者听到的频率：
$f=f_0\,\frac{c}{c\mp v_s}$
声源靠近取减号，远离取加号。若声源不动、听者以 $v_o$ 靠近， $f=f_0\dfrac{c+v_o}{c}$ ：波长没变，但单位时间遇到的波面多了。两种情况都只有沿两者连线方向的速度起作用。
3
多普勒效应的应用
测速雷达、气象雷达通过反射波的频率变化测出速度；医院的彩超用它测血流速度。光也有同样的效应：远离我们的星系光谱发生红移，这是宇宙在膨胀的第一个证据。

Q01

$680\,\text{Hz}$ 的警笛以 $40\,\text{m/s}$ 驶近（ $c=340\,\text{m/s}$ ），你听到的频率约为

Q02

声源远离你时，与它静止时相比，

Q03

飞机以 2 倍声速飞行，激波锥的半顶角为

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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