向量加法与数量积：从 |a||b|cos θ 到 x₁x₂ + y₁y₂

向量加法与数量积 · Vector addition & dot product

数量积是用长度和夹角定义的，为什么换成坐标后变成 x₁x₂ + y₁y₂，夹角却不见了？

拖动向量 a、b 的终点。画板单独量出两者的夹角，算出 |a||b|cos θ，再和坐标算出的 x₁x₂ + y₁y₂ 比较：两者始终相等。平行四边形给出 a + b，红色线段是 b 在 a 上的投影。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

高中
平行四边形法则
数量积
投影
a·b = 0 时垂直

x_1

4.0

y_1

1.0

x_2

1.5

y_2

3.0

|\vec a||\vec b|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2

$|\vec a|$: 4.123
$|\vec b|$: 3.354
$\theta$: 49.4
$|\vec a|\,|\vec b|\cos\theta$: 9.000
$x_1x_2 + y_1y_2$: 9.000
$|\vec b|\cos\theta$: 2.183
$|\vec a + \vec b|$: 6.801

a 与 b 的夹角锐角：a·b > 0

跟着走一遍

1两种算法，同一个数
画板量出 $|\vec a|=4.123$ 、 $|\vec b|=3.354$ 和两者夹角 $\theta=49.4^\circ$ ，相乘得 $|\vec a||\vec b|\cos\theta=9$ 。另一边直接用坐标： $4\times1.5+1\times3=9$ 。随便拖动哪个终点，两边始终相等。
2首尾相接
先沿 $\vec a$ 走、再沿 $\vec b$ 走，和先 $\vec b$ 后 $\vec a$ ，落在同一个点：平行四边形的对角顶点， $\vec a+\vec b=(5.5,\,4)$ ，坐标直接相加。它的长度是 $6.801$ ，比 $|\vec a|+|\vec b|=7.477$ 短。
3垂直：等于零
把 $\vec b$ 移到 $(-1,\,4)$ 。夹角是 $90^\circ$ ，投影缩成一个点， $\vec a\cdot\vec b=-4+4=0$ 。平行四边形变成矩形， $|\vec a+\vec b|^2=17+17=34$ ，正是勾股定理。
4钝角：为负
$\vec b=(-3,\,1)$ 时夹角是 $147.5^\circ$ 。 $\vec b$ 的投影落到 $O$ 的后面， $|\vec b|\cos\theta=-2.668$ ，数量积为 $-12+1=-11$ 。 $\vec a\cdot\vec b$ 的符号告诉你夹角在直角的哪一边。

讲解

1
向量的加法
向量就是一次位移：走多远、朝哪个方向，与从哪里出发无关。先位移 $\vec a$ 再位移 $\vec b$ ，合起来是一次位移 $\vec a+\vec b$ 。两种顺序首尾相接，正好是平行四边形的两半，所以 $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$ 。
用坐标表示，位移就是（横向，纵向），横向和横向相加，纵向和纵向相加：
$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2)$
2
数量积与投影
数量积用长度和夹角定义：
$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\theta$
可以读成"长度乘投影"： $|\vec b|\cos\theta$ 是 $\vec b$ 沿 $\vec a$ 方向伸出去的长度（红色线段），再乘 $|\vec a|$ 。力做的功就是这样算的：力乘以沿力方向移动的距离。
3
为什么坐标公式里没有夹角
看以 $\vec a$ 、 $\vec b$ 、 $\vec a-\vec b$ 为三边的三角形，把 $|\vec a-\vec b|^2$ 算两遍。
- 用夹角算。 从 $\vec b$ 的终点向 $\vec a$ 所在直线作垂线，垂足到 $O$ 的距离是 $|\vec b|\cos\theta$ ，垂线高 $|\vec b|\sin\theta$ 。对它和 $\vec a$ 终点构成的直角三角形用勾股定理：
$|\vec a-\vec b|^2=(|\vec a|-|\vec b|\cos\theta)^2+(|\vec b|\sin\theta)^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos\theta$
- 用坐标算。 对横向差和纵向差用勾股定理：
$|\vec a-\vec b|^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2(x_1x_2+y_1y_2)$
两式右边相等，所以
$|\vec a|\,|\vec b|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2$
夹角并没有消失，而是藏进了坐标里。第一行就是余弦定理，这段推导顺便证明了它。
4
它能用来做什么
- 判断垂直。 $\vec a\perp\vec b$ 当且仅当 $x_1x_2+y_1y_2=0$ ，不用去量角。
- 求夹角。 $\cos\theta=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{|\vec a|\,|\vec b|}$ 。
- 和的长度。 展开 $(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b)$ 得 $|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2\,\vec a\cdot\vec b$ ，因此 $|\vec a+\vec b|\le|\vec a|+|\vec b|$ ，只有两者同向时取等号。

随堂检测

Q01

$\vec a=(2,\,3)$ ， $\vec b=(3,\,-2)$ ， $\vec a\cdot\vec b$ 等于多少？

Q02

若 $\vec a\cdot\vec b<0$ ，两向量的夹角是：

Q03

推导 $x_1x_2+y_1y_2$ 时，哪个事实用了两次？

继续探索

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

生成视频

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