相似与位似：边长乘 k，面积乘 k²

相似与位似 · Similarity & homothety

从一点出发把三角形放大，为什么角不变？面积为什么变成 k² 倍而不是 k 倍？

选一个位似中心 O 和比 k，每个顶点沿着从 O 出发的射线移到 k 倍距离处。画板实时量出新三角形的边、角和面积：每条边之比都是 |k|，每个角都不变，面积之比是 k²。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

k

全等

中心对称

2.00

O_x

-5.0

O_y

-2.0

A_x

-2.0

A_y

1.0

\dfrac{S'}{S} = k^2

A'B'C' 的方向与原图同向

跟着走一遍

1把到 O 的距离都变成 2 倍
$k=2$ 时，每个顶点沿着从 $O$ 出发的射线移到 2 倍距离处： $A'=O+2(A-O)$ 。画板量出新三角形的三条边，三个比值都是 $2$ 。 $A$ 处和 $A'$ 处的角都是 $71.6^\circ$ 。
2面积变成 k² 倍
边长变成 2 倍，面积之比却是 $4$ 而不是 $2$ ：底和高都变成了 2 倍。 $k=1.5$ 时边长是 $1.5$ 倍，面积是 $2.25$ 倍。
3中心放哪里都行
把 $O$ 拖到三角形里面，或者拖得很远。像的位置变了，但边之比仍是 $1.5$ ，角仍然相等： $O$ 放在哪里只决定复制品落在哪儿，不影响形状。
4k 为负：穿过中心
$k=-1$ 时，每个顶点穿过 $O$ 到对面同样远的地方。复制品转了半圈，但和原图全等：边之比为 $1$ ，面积之比为 $1$ 。其他负的 $k$ 也一样翻到对面，只是再缩放 $|k|$ 倍。

1
位似变换
取定一点 $O$ 和一个数 $k\ne0$ 。以 $O$ 为中心、 $k$ 为比的位似变换把每个点 $X$ 变到
$X'=O+k\,(X-O)$
所以 $X'$ 在直线 $OX$ 上，且 $|OX'|=|k|\,|OX|$ 。 $k<0$ 时它落在 $O$ 的另一侧。
2
为什么每条边都乘 |k|
把两个点的定义式相减：
$A'-B'=\big(O+k(A-O)\big)-\big(O+k(B-O)\big)=k\,(A-B)$
$O$ 被消掉了。所以 $A'B'$ 与 $AB$ 平行，长度是 $|k|$ 倍，任意两点都如此。这就是三条边之比相同、而且与 $O$ 的位置无关的全部原因。
3
为什么角不变
像的每条边都与原图对应的边平行。 $A'$ 处的角由两条分别平行于 $A$ 处两边的直线构成，两组平行线相交成的角相等（同位角）。所以两个三角形相似：角对应相等，边对应成比例。
反过来同样成立，这让结论具有一般性：任意两个相似三角形，经过平移、旋转（必要时翻折）总能摆成位似的位置，所以这里证明的结论对一切相似图形都成立。
4
为什么面积乘 k²
面积是 $\tfrac12\cdot\text{底}\cdot\text{高}$ 。底是长度，乘 $|k|$ ；高是顶点到对边的距离，也是长度，也乘 $|k|$ 。两者相乘就乘了 $k^2$ ：
$\frac{S'}{S}=\frac{\tfrac12\,(|k|\,b)(|k|\,h)}{\tfrac12\,bh}=k^2$
同样的道理，体积由三个长度相乘，所以乘 $|k|^3$ 。

Q01

两个相似三角形的边长之比是 $3:5$ ，面积之比是多少？

Q02

位似变换下，为什么 $A'B'$ 平行于 $AB$ ？

Q03

一张地图的比例尺是 $1:1000$ ，图上一块地的面积是 $12\,\text{cm}^2$ ，实际面积是多少？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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