圆周角定理：圆周角等于所对弧的一半

圆周角定理 · Inscribed angle theorem

为什么从圆上任一点看同一段弧，张角都一样，而且恰好是圆心角的一半？

拖动圆上的点 P：只要 P 留在弦 AB 的同一侧，∠APB 就不变，并且总是所对弧的一半。把 AB 拉成直径得到直角，把 P 拖到弦的另一侧得到补角。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

初中
高中
圆周角
圆心角
直径所对的圆周角
圆内接四边形

\theta_A

3.67

\theta_B

5.76

\theta_P

1.75

\angle APB = \tfrac12\,\overset{\frown}{AB}

$\angle APB$: 60.0
$\overset{\frown}{AB}$: 120.0
$\overset{\frown}{AB} \div \angle APB$: 2.000
$\angle OPA$: 35.0
$\angle OAP$: 35.0
$\angle OPB$: 25.0

∠APB 是直角不是

跟着走一遍

1弧的一半
高亮的弧 $AB$ 就是 $P$ "看着"的那段弧，度数是 $120^\circ$ ，也就是圆心角 $\angle AOB$ 。从 $P$ 看同一段弧，张角 $\angle APB=60^\circ$ ，正好一半。两个角都是按坐标量出来的，不是写死的。
2移动 P，角不变
把 $P$ 拖到上方这段弧的任何位置。两条弦在转， $\angle OPA$ 、 $\angle OPB$ 都在变，但 $\angle APB$ 一直是 $60^\circ$ ：同弧所对的圆周角相等。
3为什么：一个等腰三角形
把 $P$ 放到 $A$ 的正对面，让 $PA$ 经过圆心 $O$ 。 $OP=OB$ （都是半径），所以三角形 $OPB$ 是等腰三角形，两个底角相等。圆心角 $\angle AOB$ 是这个三角形在 $O$ 处的外角，等于两个底角之和，即 $2\angle OPB$ 。此时 $\angle OPB=60^\circ$ ，弧是 $120^\circ$ 。
4直径对直角
让 $AB$ 成为直径。它截出的弧是半圆， $180^\circ$ ，所以圆上任一点 $P$ 看它都是 $90^\circ$ 。
5越过弦
把 $A$ 、 $B$ 放回原处，再把 $P$ 拖到下方的弧上。现在 $P$ 看的是另一段弧， $360^\circ-120^\circ=240^\circ$ ， $\angle APB=120^\circ$ 。和上方的 $60^\circ$ 合起来是 $180^\circ$ ：圆内接四边形的对角互补。

讲解

1
定理内容
顶点在圆上、两边都是弦的角叫圆周角。它两边之间、远离顶点的那段弧，就是它所对的弧。弧的度数用它的圆心角来量，则
$\angle APB=\tfrac12\,\overset{\frown}{AB}$
由此立刻得到两条推论：同弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是 $90^\circ$ 。
2
只用两个事实的证明
证明只用到两件事：等腰三角形两底角相等；三角形的外角等于不相邻的两个内角之和（都由内角和 $180^\circ$ 推出）。
- ** $O$ 在角的一边上。** 设 $PA$ 过 $O$ 。三角形 $OPB$ 中 $OP=OB$ ，所以 $\angle OPB=\angle OBP$ 。圆心角 $\angle AOB$ 是它在 $O$ 处的外角，所以 $\angle AOB=2\angle OPB=2\angle APB$ 。
- ** $O$ 在角的内部。** 作直径 $PP'$ （虚线）。它把 $\angle APB$ 分成 $\angle OPA+\angle OPB$ ，把弧也分成两段。对每一段用上一种情形，再相加。
- ** $O$ 在角的外部。** 同样作直径，这时 $\angle APB=|\angle OPA-\angle OPB|$ ，改成相减。
画板上 $\angle OPA$ 和 $\angle OAP$ 是分别量出来的，两者始终相等，这就是等腰三角形那一步。
3
直径所对的圆周角
当 $AB$ 是直径时，弧是 $180^\circ$ ，所以对每个 $P$ 都有 $\angle APB=90^\circ$ 。反过来用，就能拿三角尺找圆心：把直角顶点放在圆周上，两边与圆的交点连成的弦就是直径，两条直径的交点就是圆心。
4
圆内接四边形
弦 $AB$ 两侧各取一点 $P$ 、 $Q$ ，它们所对的是两段弧，两段弧加起来是 $360^\circ$ 。各取一半， $\angle APB+\angle AQB=180^\circ$ ：圆内接四边形 $APBQ$ 的对角互补。

随堂检测

Q01

一段弧的度数是 $100^\circ$ ，它所对的圆周角是多少？

Q02

证明中，为什么 $\angle OPB=\angle OBP$ ？

Q03

四边形 $ABCD$ 内接于圆， $\angle A=70^\circ$ ， $\angle C$ 是多少？

继续探索

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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