斐波那契螺线Fibonacci spiral
在边长 1、1、2、3、5、8……的正方形里各画四分之一圆：黄金螺线最常见的近似画法。
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公式与关键数值
- 构造规则
在第 k 个正方形里画半径为 Fₖ 的四分之一圆，每次多转 90°。
- 弧长图中 ≈ 84.82
- 相邻半径之比
Fₖ 是第 k 个斐波那契数（1, 1, 2, 3, 5, …），n 是正方形个数。
01 · 定义
什么是斐波那契螺线？
把边长 1、1、2、3、5、8……的正方形依次贴着已有长方形的长边摆开，在每个正方形里画四分之一圆。这些圆弧平滑地连成一条螺线，而正方形总是拼成一个 Fₙ × Fₙ₊₁ 的长方形。
它常被当作黄金螺线展示，其实只是近似。相邻半径之比 Fₖ₊₁/Fₖ 趋于黄金比 φ，所以每转四分之一圈的放大倍数趋于 φ；但曲率在每个接缝处跳变，而真正的对数螺线是连续变化的。
02 · 性质
关键性质
- 第 k 段四分之一圆的半径是第 k 个斐波那契数 Fₖ。
- n 个正方形拼成 Fₙ × Fₙ₊₁ 的长方形，所以 F₁² + … + Fₙ² = FₙFₙ₊₁。
- n 段圆弧的总长：(π/2)(Fₙ₊₂ − 1)。
- Fₖ₊₁/Fₖ → φ ≈ 1.618，所以它的增长趋近黄金螺线。
- 与黄金螺线不同，它的曲率在每个接缝处从 1/Fₖ 跳到 1/Fₖ₊₁。
03 · 问答
关于斐波那契螺线的常见问题
- 斐波那契螺线是怎么构造的？
- 构造规则：F_k+1 = F_k + F_k-1，在第 k 个正方形里画半径为 Fₖ 的四分之一圆，每次多转 90°。。Fₖ 是第 k 个斐波那契数（1, 1, 2, 3, 5, …），n 是正方形个数。
- 斐波那契螺线的弧长是多少？
- 弧长：L = (π/2)(F_n+2 - 1)。Fₖ 是第 k 个斐波那契数（1, 1, 2, 3, 5, …），n 是正方形个数。
04 · 继续探索