西奥多罗斯螺线Spiral of Theodorus
以 √n 和 1 为直角边的直角三角形绕一点依次排开：斜边是 √2、√3、√4……外缘螺旋展开。
调节参数
导出
公式与关键数值
- 构造规则
在上一条斜边的端点处垂直接一条长为 1 的直角边，再把它的端点与中心相连。
- 第 k 条斜边
- 第 k 个三角形的角
- 外缘长度图中 = 16
n 是直角三角形的个数；第 k 个三角形的直角边为 √k 和 1。
01 · 定义
什么是西奥多罗斯螺线？
先画两条直角边都为 1 的直角三角形，斜边是 √2。把这条斜边当作下一个直角三角形的一条直角边，另一条直角边仍为 1，斜边就是 √3。一直做下去，斜边依次是 √2、√3、√4、√5……外缘则卷成一条螺线。
它以昔兰尼的西奥多罗斯命名。据柏拉图《泰阿泰德篇》记载，他证明了 √3、√5 直到 √17 都是无理数。对"为什么停在 √17"有一种解释：斜边为 √17 的那个三角形，是螺线自我重叠之前的最后一个。
02 · 性质
关键性质
- 第 k 条斜边长 √(k + 1)。
- 第 k 个三角形在中心处增加角度 arctan(1/√k)。
- n 个三角形之后，外缘总长为 n。
- 前 16 个三角形（斜边到 √17）共转过 351°；第 17 个与第一个重叠。
- 相邻两圈的间距趋于一个常数，接近 π。
03 · 问答
关于西奥多罗斯螺线的常见问题
- 西奥多罗斯螺线是怎么构造的？
- 构造规则：在上一条斜边的端点处垂直接一条长为 1 的直角边，再把它的端点与中心相连。。n 是直角三角形的个数；第 k 个三角形的直角边为 √k 和 1。
04 · 继续探索