双角曲线Bicorn
"三角帽"曲线 y²(a² − x²) = (x² + 2ay − a²)²：两段弧在 (±a, 0) 处交成尖角。
调节参数
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公式与关键数值
- 直角坐标方程
- 参数方程
- 尖点数
a 是半宽：尖点在 (±a, 0)。
01 · 定义
什么是双角曲线？
双角曲线又叫"三角帽"曲线，是一条有理四次曲线，James Joseph Sylvester 在 1864 年、Arthur Cayley 在 1867 年研究过它。它的轮廓正如其名：一顶有两个角的帽子，上下两段弧在 (±a, 0) 处交成尖点。
因为是有理曲线，它可以用普通函数参数化：x = a·sin t，y = a·cos²t·(2 + cos t)/(3 + sin²t)。上弧在高度 a 处穿过 y 轴，下弧在 a/3 处。
02 · 性质
关键性质
- 尖点在 (±a, 0)。
- 与 y 轴交于 y = a 和 y = a/3。
- 有理参数式：x = a·sin t，y = a·cos²t·(2 + cos t)/(3 + sin²t)。
- 关于 y 轴对称。
- Sylvester（1864）和 Cayley（1867）研究过的四次曲线。
03 · 问答
关于双角曲线的常见问题
- 双角曲线的方程是什么？
- 直角坐标方程：y^2(a^2 - x^2) = (x^2 + 2ay - a^2)^2；参数方程：x = a sin t，y = (a cos^2 t (2 + cos t))/(3 + sin^2 t)。a 是半宽：尖点在 (±a, 0)。
04 · 继续探索