魔鬼曲线的方程是什么？

直角坐标方程：y^2(y^2 - b^2) = x^2(x^2 - a^2)；极坐标方程：r^2 = (b^2 sin^2θ - a^2 cos^2θ)/(sin^2θ - cos^2θ)。a、b 是曲线与坐标轴的交点 (±a, 0)、(0, ±b)；图中 b = 1。

经典直角坐标曲线

魔鬼曲线Devil’s curve

四次曲线 y²(y² − b²) = x²(x² − a²)，克莱姆在 1750 年研究过：夹在两段弧之间的 8 字形，或被两条直线穿过的圆。

调节参数

a（b = 1）0.8

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公式与关键数值

直角坐标方程: $y^2(y^2 - b^2) = x^2(x^2 - a^2)$
极坐标方程: $r^2 = \frac{b^2\sin^2\theta - a^2\cos^2\theta}{\sin^2\theta - \cos^2\theta}$
渐近线: $y = \pm x$

a、b 是曲线与坐标轴的交点 (±a, 0)、(0, ±b)；图中 b = 1。

讲解视频

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01 · 定义

什么是魔鬼曲线？

Gabriel Cramer 在 1750 年研究了这条四次曲线；名字大概来自它和"空竹"（devil on two sticks）玩具的相似。它在坐标轴上经过原点、(±a, 0) 和 (0, ±b)，远离原点时贴着对角线 y = ±x。

形状全看 a 与 b 的比较：a < b 时，一个 8 字形横在 (±a, 0) 之间、在原点自交，另有两段分开的弧经过 (0, ±b)、沿对角线伸出去；a = b 时分解成圆 x² + y² = b² 和两条对角线；a > b 时整幅图转 90°，8 字形竖了起来。约去 r² 后得到一行极坐标式，每种情形都容易画出。

02 · 性质

关键性质

与坐标轴交于原点、(±a, 0) 和 (0, ±b)。
渐近线 y = ±x。
a = b 时曲线分解为圆 x² + y² = a² 和直线 y = ±x。
极坐标形式：r² = (b²·sin²θ − a²·cos²θ) / (sin²θ − cos²θ)。
关于两条坐标轴对称。

03 · 问答

关于魔鬼曲线的常见问题

魔鬼曲线的方程是什么？: 直角坐标方程：y^{^2}(y^{^2} - b^{^2}) = x^{^2}(x^{^2} - a^{^2})；极坐标方程：r^{^2} = (b^{^2} sin^{^2θ} - a^{^2} cos^{^2θ})/(sin^{^2θ} - cos^{^2θ})。a、b 是曲线与坐标轴的交点 (±a, 0)、(0, ±b)；图中 b = 1。