龙形曲线Dragon curve
把纸条对折 n 次，再把每道折痕打开成直角：纸条的边就画出了 Heighway 龙。
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公式与关键数值
- 构造规则
每对折一次，就在路径后接上整条路径的副本：倒过来走，并绕终点转 90°。
- 弧长图中 ≈ 32
- 线段数图中 = 1024
- 边界维数
n 是对折次数；两端距离保持为 1。
01 · 定义
什么是龙形曲线？
拿一条纸条对折，再沿同一方向对折，不断重复。展开时让每道折痕成直角，纸条就描出了龙形曲线。NASA 的物理学家 John Heighway、Bruce Banks 和 William Harter 在 1960 年代研究了它；1967 年 Martin Gardner 在《科学美国人》上把它介绍给大众。
用代数说，每对折一次，就在路径后面接上整条路径的副本：倒过来走，并绕终点转 90°。曲线从不穿过自己，只在拐角处与自己相碰。四条龙绕一点拼在一起能铺满平面，极限图形的边界分形维数约为 1.5236。
02 · 性质
关键性质
- 对折 n 次后路径有 2ⁿ 段，段与段都成直角。
- 两端距离固定为 1 时，长度为 (√2)ⁿ。
- 拐弯方向序列就是"正则折纸序列"。
- 它从不穿过自己，只在拐角处相碰。
- 极限图形的副本可以铺满平面；它的边界维数约 1.5236。
03 · 问答
关于龙形曲线的常见问题
- 龙形曲线是怎么构造的？
- 构造规则：每对折一次，就在路径后接上整条路径的副本：倒过来走，并绕终点转 90°。。n 是对折次数；两端距离保持为 1。
- 龙形曲线的弧长是多少？
- 弧长：L_n = (√2)^n。n 是对折次数；两端距离保持为 1。
04 · 继续探索