莱维 C 曲线Lévy C curve
把每一段换成等腰直角三角形的两条直角边，不断重复，线段就长成一个 C 字形。
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公式与关键数值
- 构造规则
把每条线段换成以它为斜边的等腰直角三角形的两条直角边，总是朝同一侧。
- 弧长图中 ≈ 32
- 线段数图中 = 1024
- 极限的维数
n 是迭代次数；两端距离保持为 1。
01 · 定义
什么是莱维 C 曲线？
从一条线段开始，把它换成以它为斜边的等腰直角三角形的两条直角边，方向一致。对每一条新线段重复 n 次。Paul Lévy 在 1938 年研究了它的极限，描述了其中局部与整体相似的结构。
每一步线段数翻倍、每段缩短为原来的 1/√2，所以总长每步乘 √2，而两端点不动。和左右交替拐弯的龙形曲线不同，这里每次替换都朝同一侧，极限集合会占满平面上的一块区域：它的豪斯多夫维数是 2。
02 · 性质
关键性质
- n 步后共有 2ⁿ 段，每段长为原线段的 (1/√2)ⁿ。
- 总长为原线段的 (√2)ⁿ 倍。
- 两个端点始终不动，曲线停留在一块有界区域内。
- 极限集合的豪斯多夫维数是 2。
- 与龙形曲线不同，它不是自回避的：从第四步起，有些线段会被走两遍。
03 · 问答
关于莱维 C 曲线的常见问题
- 莱维 C 曲线是怎么构造的？
- 构造规则：把每条线段换成以它为斜边的等腰直角三角形的两条直角边，总是朝同一侧。。n 是迭代次数；两端距离保持为 1。
- 莱维 C 曲线的弧长是多少？
- 弧长：L_n = (√2)^n。n 是迭代次数；两端距离保持为 1。
04 · 继续探索