希尔伯特曲线Hilbert curve
一条不重复的路径走遍 2ⁿ × 2ⁿ 网格的每一格；取极限后，它经过正方形里的每一个点。
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公式与关键数值
- 构造规则
按 U 形依次经过正方形的四个四分之一；在每个四分之一里，把整个图案缩小一半重复一遍，并旋转到首尾相接。
- 弧长图中 ≈ 31.97
- 经过的格子数图中 = 1024
- 极限的维数
n 是阶数；曲线位于单位正方形内。
01 · 定义
什么是希尔伯特曲线？
把正方形分成四块，用一条 U 形路径连起四块的中心。再把每一块换成整个图案缩小后的副本，并旋转到首尾相接。David Hilbert 在 1891 年发表了这个构造，比 Peano 证明"曲线可以填满正方形"晚一年。
n 阶路径恰好经过网格的全部 4ⁿ 个格子一次。n 增大时，这些曲线收敛到一个把线段连续地映满整个正方形的映射。它在实际中的好处是"局部性"：在曲线上相邻的点，在正方形里也相邻，所以被用来给像素、地图瓦片和数据库键排序。
02 · 性质
关键性质
- n 阶曲线经过 4ⁿ 个格子，每格恰好一次。
- 在单位正方形里，n 阶路径长 2ⁿ − 2⁻ⁿ。
- 极限是从 [0, 1] 到正方形的连续满射：一条填满空间的曲线。
- 它的像的维数是 2，就是被填满的正方形的维数。
- 曲线上相近的位置落在相近的格子里，因此适合给二维数据做一维索引。
03 · 问答
关于希尔伯特曲线的常见问题
- 希尔伯特曲线是怎么构造的？
- 构造规则：按 U 形依次经过正方形的四个四分之一；在每个四分之一里，把整个图案缩小一半重复一遍，并旋转到首尾相接。。n 是阶数；曲线位于单位正方形内。
- 希尔伯特曲线的弧长是多少？
- 弧长：L_n = 2^n - 2^(-n)。n 是阶数；曲线位于单位正方形内。
04 · 继续探索