皮亚诺曲线Peano curve
第一条空间填充曲线（1890 年）：在 3ⁿ × 3ⁿ 网格里蛇行，极限覆盖整个正方形。
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公式与关键数值
- 构造规则
按列依次经过正方形的九块，上、下、上；每一块里重复整条蛇形，并做镜像让相邻块首尾相接。
- 弧长图中 ≈ 26.96
- 经过的格子数图中 = 729
- 极限的维数
n 是阶数；曲线位于单位正方形内。
01 · 定义
什么是皮亚诺曲线？
1890 年，Giuseppe Peano 给出一条经过正方形每一个点的连续曲线，让同时代的人大吃一惊。他的构造把正方形分成九块，按蛇形（上、下、上）依次经过这九块；每一块里重复同样的蛇形，并做镜像，使相邻块首尾相接。
n 阶路径经过 3ⁿ × 3ⁿ 网格的全部 9ⁿ 个格子。它的极限把一条线段连续地映满整个正方形，说明这种意义下的曲线可以是二维的。Hilbert 更简单的 2 × 2 版本在一年后出现。
02 · 性质
关键性质
- n 阶曲线经过 9ⁿ 个格子，每格恰好一次。
- 在单位正方形里，n 阶路径长 3ⁿ − 3⁻ⁿ。
- 极限是从 [0, 1] 到正方形的连续满射。
- 它的像的维数是 2。
- 每一块都是整个图案的副本，做了水平、竖直或两者同时的镜像。
03 · 问答
关于皮亚诺曲线的常见问题
- 皮亚诺曲线是怎么构造的？
- 构造规则：按列依次经过正方形的九块，上、下、上；每一块里重复整条蛇形，并做镜像让相邻块首尾相接。。n 是阶数；曲线位于单位正方形内。
- 皮亚诺曲线的弧长是多少？
- 弧长：L_n = 3^n - 3^(-n)。n 是阶数；曲线位于单位正方形内。
04 · 继续探索