欧拉螺线（回旋曲线）的方程是什么？

参数方程：x = int₀^t cos (π s^2)/2 ds，y = int₀^t sin (π s^2)/2 ds。t 是从中心量起的弧长；曲率公式里的 s 也是弧长。

欧拉螺线（回旋曲线）Euler spiral (clothoid)

曲率与弧长成正比的曲线：高速公路和铁路缓和曲线的形状。

调节参数

每侧弧长3

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参数方程: $x = \int_0^t \cos\frac{\pi s^2}{2}\,ds$ $y = \int_0^t \sin\frac{\pi s^2}{2}\,ds$
曲率: $\kappa = \pi s$
两端卷向: $\left(\pm\tfrac12,\ \pm\tfrac12\right)$

t 是从中心量起的弧长；曲率公式里的 s 也是弧长。

讲解视频

打开创作台，自动填好这条曲线的动画需求。自由生成目前是测试版。

01 · 定义

欧拉在 1744 年研究弹性杆时遇到了这条曲线；描述它的是菲涅耳积分；1874 年 Marie Alfred Cornu 为研究衍射把它画了出来，所以它也叫 Cornu 螺线。它的定义性质很简单：曲率与沿曲线走过的距离成正比。

正因为这个性质，工程师叫它回旋曲线并到处使用：车以恒定速度沿它行驶时，方向盘以恒定速度转动，于是直路可以平顺地接入弯道，没有突兀的转向。铁路和高速公路的缓和曲线都是这条螺线的一段；两端分别卷向点 (±1/2, ±1/2)。

02 · 性质

03 · 问答

欧拉螺线（回旋曲线）的方程是什么？: 参数方程：x = int₀^{^t} cos (π s^{^2})/2 ds，y = int₀^{^t} sin (π s^{^2})/2 ds。t 是从中心量起的弧长；曲率公式里的 s 也是弧长。

04 · 继续探索