双曲螺线Hyperbolic spiral
r = a/θ：一端无限绕向极点，另一端沿直线 y = a 远去。
调节参数
导出
公式与关键数值
- 极坐标方程
- 渐近线
a 是比例常数（图中 a = 1），也是渐近线的高度。
01 · 定义
什么是双曲螺线？
Pierre Varignon 在 1704 年研究了双曲螺线。r = a/θ 相当于把阿基米德螺线"里外翻转"：半径按 1/θ 缩小，曲线绕极点无数圈却永远到不了极点。
另一端则有出人意料的事：θ → 0 时半径无限增大，但高度 r·sin θ = a·sin θ/θ 趋于 a，于是曲线贴到水平渐近线 y = a 上。
02 · 性质
关键性质
- θ → 0 时以 y = a 为水平渐近线。
- θ → ∞ 时绕极点无数圈，但永远到不了极点。
- 在单位圆中反演，得到阿基米德螺线 r = θ/a。
- 每转一圈半径缩为原来的 θ/(θ + 2π)，比例不是常数。
- Pierre Varignon 于 1704 年研究了它。
03 · 问答
关于双曲螺线的常见问题
- 双曲螺线的方程是什么？
- 极坐标方程：r = a/θ。a 是比例常数（图中 a = 1），也是渐近线的高度。
04 · 继续探索