希庇亚斯割圆曲线Quadratrix of Hippias
下降的直线与转动的半径的交点：最古老的命名曲线之一，可以三等分角、化圆为方。
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公式与关键数值
- 直角坐标方程
- 极坐标方程
- 与 x 轴的交点图中 ≈ 0.6366
- 渐近线
a 是希庇亚斯正方形的边长；曲线与底边交于 x = 2a/π。
01 · 定义
什么是希庇亚斯割圆曲线？
约公元前 420 年，埃利斯的希庇亚斯在边长为 a 的正方形里设想了两种运动：上边匀速下降到底边，同时从角上出发的一条半径匀速从竖直转到水平，两者同时结束。它们的交点描出割圆曲线。
下降的距离与转过的角度成正比，所以这条曲线能把角按任意比例分开，自然也能三等分角。后来 Dinostratus 发现它与底边交于 x = 2a/π，于是可以作出 π 并化圆为方。这条曲线本身不能用尺规画出，所以并不与那些作图"不可能"的结论矛盾。
02 · 性质
关键性质
- 直角坐标 x = y·cot(πy/2a)；极坐标 r = 2aθ/(π·sin θ)。
- 与 x 轴交于 x = 2a/π（Dinostratus）。
- 水平渐近线 y = ±2a。
- 能把角按任意比例分开，因而能三等分角。
- 在半径为 a·√(2/π) 的圆中反演得到蜗牛线。
03 · 问答
关于希庇亚斯割圆曲线的常见问题
- 希庇亚斯割圆曲线的方程是什么？
- 直角坐标方程：x = y cot (π y)/2a；极坐标方程：r = (2a θ)/(π sin θ)。a 是希庇亚斯正方形的边长；曲线与底边交于 x = 2a/π。
04 · 继续探索