半立方抛物线的方程是什么？

直角坐标方程：y^2 = ax^3；参数方程：x = t^2，y = √ a t^3。a 决定两支从原点尖点升起的陡峭程度。

半立方抛物线的弧长是多少？

弧长（从尖点到 x）：L = (8/27a)[(1 + 9ax/4)^(3/2) - 1]。a 决定两支从原点尖点升起的陡峭程度。

y² = ax³，带尖点的曲线：除直线外第一条求出精确弧长的代数曲线（Neile，1657 年）。

调节参数

a（陡峭程度）1

导出

直角坐标方程: $y^2 = ax^3$
参数方程: $x = t^2$ $y = \sqrt a\,t^3$
弧长 · 从尖点到 x: $L = \frac{8}{27a}\left[\left(1 + \frac{9ax}{4}\right)^{3/2} - 1\right]$

a 决定两支从原点尖点升起的陡峭程度。

讲解视频

带着图中的参数打开视频模板。片中每个数都在渲染前算好，可选横屏或竖屏。

01 · 定义

1657 年，William Neile 求出了 y² = ax³ 一段弧的精确长度。当时不少数学家认为曲线的长度不能用代数式表示，这个结果让他们吃惊：答案只需要幂和根式。

曲线在原点有一个尖点，两支在那里都与 x 轴相切。它在很多地方出现：它是抛物线的渐屈线；它也是莱布尼茨 1687 年挑战题中的"等时降线"，物体沿它下落时竖直方向的速度保持不变。

02 · 性质

03 · 问答

半立方抛物线的方程是什么？: 直角坐标方程：y^{^2} = ax^{^3}；参数方程：x = t^{^2}，y = √ a t^{^3}。a 决定两支从原点尖点升起的陡峭程度。
半立方抛物线的弧长是多少？: 弧长（从尖点到 x）：L = (8/27a)[(1 + 9ax/4)^{^(3/2)} - 1]。a 决定两支从原点尖点升起的陡峭程度。