S 形函数（逻辑斯谛曲线）Sigmoid function
逻辑斯谛曲线 y = 1/(1 + e^(−kx))：先慢、再快、最后趋于 1 的增长。
调节参数
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公式与关键数值
- 直角坐标方程
- 导数
- 最大斜率 · 在拐点 (0, 1/2)图中 = 0.25
- 渐近线
k 决定陡峭程度；曲线从 0 升到 1，中心在 x = 0。
01 · 定义
什么是S 形函数（逻辑斯谛曲线）？
Pierre-François Verhulst 在 1830 年代后期提出逻辑斯谛曲线，用来描述一个种群：数量越多增长越快，直到资源不足。它的微分方程 y′ = k·y(1 − y) 说的正是这件事：y 小时增长快，y 接近上限 1 时增长停止。
同样的 S 形出现在任何"在两个水平之间平滑切换"的地方：早期神经网络的激活函数、逻辑回归、剂量-反应曲线、新技术的普及。它最陡的地方是拐点 (0, 1/2)，那里斜率为 k/4。
02 · 性质
关键性质
- 水平渐近线 y = 0 和 y = 1。
- 拐点 (0, 1/2)，那里斜率 k/4 最大。
- 导数 y′ = k·y(1 − y)。
- 中心对称：σ(−x) = 1 − σ(x)。
- 反函数是 logit：x = (1/k)·ln(y/(1 − y))。
03 · 问答
关于S 形函数（逻辑斯谛曲线）的常见问题
- S 形函数（逻辑斯谛曲线）的方程是什么？
- 直角坐标方程：y = 1/(1 + e^(-kx))。k 决定陡峭程度；曲线从 0 升到 1，中心在 x = 0。
04 · 继续探索