超级公式曲线Superformula
Johan Gielis 的"一条公式画星星、花朵、方形和圆"：四个数改变同一条极坐标曲线。
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公式与关键数值
- 极坐标方程
- 周期 · 角度方向图中 ≈ 2.513
- 单位圆
m 决定对称数，n₁ 决定整体收缩，n₂、n₃ 决定每瓣两半的形状；这里 a = b = 1。
01 · 定义
什么是超级公式曲线？
2003 年，生物学家 Johan Gielis 在《美国植物学杂志》上发表了超椭圆的推广：一条带对称数 m 和三个指数的极坐标公式。改变这四个数，可以得到圆、圆角多边形、星形，以及许多像叶片、贝壳、花朵的形状。
这条公式相当于把超椭圆绕圆周包了 m/4 圈。m = 4 且三个指数都等于 2 时，它正好是单位圆；指数调大会变方；n₁ 调小会把边捏成星形。
02 · 性质
关键性质
- m = 4 且 n₁ = n₂ = n₃ = 2 时是单位圆。
- n₂ = n₃ 且 m 为整数时，图形有 m 重旋转对称。
- m = 4、n₁ = n₂ = n₃ = n 时就是超椭圆 |x|ⁿ + |y|ⁿ = 1。
- 半径随角度每 4π/m 重复一次。
- 由 Johan Gielis 于 2003 年发表。
03 · 问答
关于超级公式曲线的常见问题
- 超级公式曲线的方程是什么？
- 极坐标方程：r(φ) = (|cos mφ/4|^(n₂) + |sin mφ/4|^(n₃))^(-1/n₁)。m 决定对称数，n₁ 决定整体收缩，n₂、n₃ 决定每瓣两半的形状；这里 a = b = 1。
04 · 继续探索