次摆线Trochoid
笔尖固定在滚动车轮上、离圆心 d 处：d < r 时是波浪，d = r 时是摆线，d > r 时打出小环。
调节参数
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公式与关键数值
- 参数方程
- 高度范围
- 周期 · 沿直线图中 ≈ 6.283
r 是车轮半径（图中 r = 1），d 是笔尖到圆心的距离，t 是车轮转过的角度。
01 · 定义
什么是次摆线？
让半径为 r 的车轮沿直线滚动，跟踪固定在轮上、离圆心 d 的一点。点在轮缘上（d = r）时描出摆线，接地处是尖点；点在轮缘内（d < r，短幅次摆线）时尖点变成平滑的波浪；点在轮缘外（d > r，长幅次摆线，好比火车轮缘上的点）时尖点打开成小环。
三种情形都来自同两行式子 x = rt − d·sin t、y = r − d·cos t。点的高度在 r − d 与 r + d 之间摆动，图案沿直线每 2πr 重复一次，也就是车轮每转一圈重复一次。
02 · 性质
关键性质
- d = r 是摆线；d < r 是短幅（波浪形）次摆线；d > r 是长幅（带环）次摆线。
- 高度在 r − d 到 r + d 之间。
- 沿直线的周期为 2πr，即车轮转一圈。
- 长幅次摆线在每个环里有一段是向后走的，就像火车车轮的轮缘。
- 把直线换成圆，就得到外旋轮线和内旋轮线。
03 · 问答
关于次摆线的常见问题
- 次摆线的方程是什么？
- 参数方程：x = rt - d sin t，y = r - d cos t。r 是车轮半径（图中 r = 1），d 是笔尖到圆心的距离，t 是车轮转过的角度。
04 · 继续探索